Peak와 RMS가 다르게 보이는 이유: 파고율·파형율과 펄스 측정 읽기

같은 신호를 측정했는데 한쪽 화면은 1 V, 다른 쪽은 0.707 V를 표시하면 감도나 설정이 잘못된 것부터 의심하게 된다. 하지만 첫 번째 값이 peak이고 두 번째가 정현파의 RMS라면 두 숫자는 같은 파형을 서로 다른 기준으로 읽은 결과일 수 있다.

문제는 모든 파형이 정현파처럼 생기지는 않았다는 데 있다. 짧은 펄스와 충격, DC 위에 얹힌 진동에서는 peak와 RMS의 관계가 달라진다. 입력 범위 안에 있는 RMS 숫자를 보고 안심했다가 순간 최대값 때문에 앞단 회로가 포화하는 경우도 생긴다.

Open Tech Bench의 파형 지표 글을 바탕으로 같은 구간에서 peak·RMS·평균 정류값을 계산해 보자. 이 세 값을 구분하고 나면 파고율과 파형율도 외워야 할 별도 숫자보다, 계측값을 해석하는 비율로 연결해서 읽을 수 있다.

같은 구간에서 어떤 크기를 계산했는지부터 맞춘다

여기서 peak는 관측 구간에 있는 샘플의 절댓값 가운데 가장 큰 값으로 정의한다. 양의 최대값만 보는 설정과는 다를 수 있으므로, 음수 방향의 충격도 포함하려면 프로그램이 어떤 peak를 표시하는지 확인해 두자.

예를 들어 최대값이 +2 V, 최소값이 −3 V라면 절대 peak는 3 V이고 peak-to-peak는 5 V다. 두 값은 같은 뜻이 아니다. 대칭 파형에서는 peak-to-peak가 절대 peak의 두 배가 되지만, DC offset이나 비대칭이 있으면 이 관계를 그대로 쓰기 어렵다.

RMS는 각 값을 제곱하고 평균한 다음 제곱근을 취한다. 일정한 간격의 샘플 N개라면 RMS = √{(x₁² + x₂² + … + xN²)/N}으로 계산한다. 음수도 제곱한 뒤 양수로 들어가므로 양과 음이 번갈아 나오는 파형에서 단순 평균이 0이 되더라도 RMS는 남는다.

평균 정류값은 각 값에 절댓값을 취한 뒤 평균한 값이다. RMS처럼 양과 음의 상쇄를 피하지만, 제곱을 사용하지 않으므로 큰 값에 부여하는 비중이 다르다. 평균이라는 말만 듣고 원래 파형의 DC 평균과 평균 정류값을 같은 숫자로 읽지 않도록 주의한다.

계산 구간도 맞춰야 한다. 충격을 포함한 1초 기록과 충격을 뺀 안정 구간 1초의 RMS는 다를 수 있고, 같은 충격이라도 주변의 조용한 시간을 길게 포함하면 평균에 들어가는 비중이 작아진다. 결과 옆에 시작·끝 시각과 취득 조건을 남겨두면 비교하기가 수월해진다.

저항 R에 전압 v(t)를 가할 때 순간 전력은 v(t)²/R이다. 이 값을 평균하면 평균 전력은 Vrms²/R로 표현된다. 같은 저항에서 같은 평균 전력을 만드는 DC 전압에 대응한다는 의미로 RMS를 실효값이라고 부른다. 이 관계를 임의의 복잡한 부하에 대한 실제 전력 계산으로 확대하지는 않는다.

정현파에서 맞았던 √2 환산은 파형이 바뀌면 달라진다

절대 peak가 A인 대칭 정현파를 한 주기에서 계산하면 RMS는 A/√2, 평균 정류값은 2A/π다. A = 1 V이면 각각 약 0.7071 V와 0.6366 V가 된다. 정현파의 peak를 RMS로 환산할 때 √2로 나누는 식은 이 모양을 전제로 한다.

같은 peak의 양극성 구형파는 +A와 −A 사이를 오가며, 이상적인 전이 시각을 제외하면 절댓값이 항상 A다. 제곱 평균은 A², 평균 정류값은 A이므로 peak·RMS·평균 정류값이 모두 A가 된다.

대칭 삼각파에서는 peak가 A여도 그 높은 값에 머무는 시간이 짧다. 한 주기 RMS는 A/√3, 평균 정류값은 A/2이므로 A = 1 V일 때 약 0.5774 V와 0.5 V다. 같은 peak를 가진 세 파형에서 RMS가 서로 달라지는 이유를 파형 전체의 높이 분포와 연결해 보자.

아래 그림은 이 세 파형과 10% 단극성 펄스를 같은 1 V peak로 계산한 예다. 센서나 계측기로 얻은 데이터가 아니며, 파형의 모양만 바꾸었을 때 각 지표가 어떻게 달라지는지 보여준다.

실제 파형이 찌그러졌거나 고조파가 섞였다면 정현파 환산식을 그대로 적용하기 전에 샘플로 RMS를 계산한다. 앞단에서 잘린 파형도 제곱 평균 자체는 계산할 수 있지만, 그 결과가 포화되기 전 원래 신호의 RMS까지 되찾아 주는 것은 아니다.

파고율은 RMS에 비해 순간 최대값이 얼마나 높은지 나타낸다

파고율 또는 crest factor는 절대 peak를 RMS로 나눈 값이다. CF = Xpeak/Xrms이며, 분자와 분모의 단위가 같으므로 비율 자체에는 단위가 없다. 분모가 0인 영 신호에서는 이 비율을 그대로 계산할 수 없다는 점도 기억해 두자.

정현파는 peak A와 RMS A/√2를 사용하므로 파고율이 √2, 약 1.414다. 양극성 구형파는 1이고, 대칭 삼각파는 √3, 약 1.732다. peak가 같을 때 RMS가 작아지는 파형일수록 이 비율은 커진다.

반대로 RMS를 기준으로 입력 범위를 검토해 보자. 10 V RMS 정현파의 peak는 약 14.14 V지만, 파고율이 4인 신호라면 peak는 40 V다. 화면의 RMS가 같아도 ADC와 증폭기가 받아들여야 할 최대 입력은 크게 달라진다.

True-RMS 계측기에 파고율 조건이 붙는 이유도 순간 입력과 관계가 있다. 표시된 RMS가 측정 범위 안에 있어도 높은 peak 때문에 아날로그 경로가 포화하면, 이후 RMS 연산은 이미 잘린 파형을 대상으로 하게 된다. 계산 방식과 입력 경로의 허용 범위를 함께 살펴야 한다.

실제 사양은 범위와 주파수, 파고율에 따라 허용 오차나 사용 가능한 입력이 달라질 수 있다. crest factor가 특정 숫자 이하라는 한 줄만 보지 말고, 그 조건이 어느 범위와 레벨에서 적용되는지까지 읽어보자. peak 여유를 확보한 뒤 작은 변화의 분해능도 함께 검토한다.

파고율이 높다는 사실만으로 반복 충격이나 베어링 결함을 확정할 수는 없다. 드물게 들어온 잡음 spike 하나가 peak를 결정할 수도 있고, 서로 다른 파형이 같은 비율을 가질 수도 있다. 시간 파형과 발생 시점, 반복성을 함께 확인해야 원인에 가까워진다.

짧은 펄스에서는 듀티가 RMS와 peak의 관계를 바꾼다

한 주기에서 비율 D 동안만 A이고 나머지는 0인 단극성 펄스를 가정해 보자. D는 0보다 크고 1 이하다. 이 모델에서는 제곱한 값 A²가 전체 구간의 D만큼 들어가므로 평균제곱은 A²D, RMS는 A√D가 된다.

평균 정류값은 AD다. 파형이 음수가 되지 않으므로 이 경우에는 단순 DC 평균과 평균 정류값도 같다. 다만 이 관계는 지금 가정한 0과 A 사이의 단극성 펄스에 관한 것이며 양과 음을 오가는 다른 펄스로 바로 옮겨 쓰지는 않는다.

파고율은 A/(A√D) = 1/√D다. 듀티가 10%이면 약 3.162, 1%이면 10이 된다. 같은 RMS를 만들면서 펄스가 점점 짧아진다면 순간 peak는 더 높아져야 한다.

예를 들어 10% 펄스가 3 A RMS라면 peak는 3/√0.1 ≈ 9.487 A다. 1% 펄스에서 같은 3 A RMS를 만들려면 peak는 30 A가 된다. 이 계산은 전류 범위뿐 아니라 션트와 증폭 경로의 순간 입력 여유를 생각할 때도 도움이 된다.

실제 계측에서는 펄스가 얼마나 짧은지와 샘플 간격을 함께 봐야 한다. peak를 지나는 시각에 샘플이 없거나 입력 대역폭이 부족하면 원래 펄스의 높이와 모서리가 그대로 기록되지 않을 수 있다. 저장된 샘플의 최대값이 연속시간 입력의 참 peak와 언제나 같지는 않은 것이다.

반복 펄스를 비교한다면 듀티와 주기, 기록에 들어간 주기 수를 맞춰보자. 정수 주기가 아닌 짧은 구간에서는 펄스가 포함된 비중이 달라져 RMS와 평균이 흔들릴 수 있다. 단발 충격을 다룰 때도 구간 선택을 결과와 함께 남겨야 다른 기록과 비교할 수 있다.

파형율은 평균응답형 계측기의 표시를 이해하는 데 쓰인다

파형율 또는 form factor는 RMS를 평균 정류값으로 나눈 값이다. FF = Xrms/Xavg,rect로 표현하며, 평균 정류값이 0인 경우에는 나눗셈의 정의를 따로 처리해야 한다. 이름이 비슷한 파고율은 peak/RMS였으므로 두 비율의 분모부터 구분해 두자.

정현파에서는 (A/√2)/(2A/π) = π/(2√2), 약 1.1107이다. 평균응답형 AC 계측기는 평균 정류값을 구한 뒤 이 계수를 곱해 RMS 눈금으로 표시할 수 있다. 입력이 정현파일 때 성립하는 눈금이다.

peak가 1 V인 양극성 구형파라면 실제 RMS와 평균 정류값은 모두 1 V다. 이 값에 정현파 계수 1.1107을 곱해 표시하면 약 1.1107 V가 되어 실제 RMS보다 약 11.1% 높게 읽는다. 파형이 바뀌면서 환산 가정이 맞지 않게 된 예다.

대칭 삼각파의 파형율은 (A/√3)/(A/2) = 2/√3, 약 1.1547이다. 실제 파형율이 정현파의 값과 다르므로 평균 정류값에 같은 계수를 적용하면 오차가 생긴다. RMS를 어떤 방식으로 얻은 계측기인지 확인해야 두 장비의 숫자 차이를 해석할 수 있다.

앞에서 정의한 단극성 펄스에서는 파형율도 (A√D)/(AD) = 1/√D다. 이 경우 파고율과 파형율의 수치가 같지만, 두 지표가 일반적으로 같은 물리량이라는 의미는 아니다. 다른 파형에서는 두 값이 달라진다.

True-RMS 표기는 이런 파형 의존 환산 대신 RMS 연산을 한다는 뜻으로 읽는다. 그렇더라도 대역폭과 입력 범위, 파고율 조건, AC 또는 AC+DC 모드를 확인해야 한다. 계측기 이름 하나로 모든 파형에서 같은 정확도를 보장한다고 이해하면 실제 비교 조건을 놓치기 쉽다.

AC와 AC+DC 모드가 다른 RMS를 보여주는 이유

단극성 펄스에는 평균이 남아 있으므로, 전체 신호와 평균을 제거한 신호의 RMS가 다르다. 0과 A 사이를 오가는 펄스의 DC 평균은 AD이고 전체 RMS는 A√D다. 평균을 정확히 제거한 뒤의 AC RMS는 A√{D(1 − D)}가 된다.

예를 들어 A = 1 V, D = 0.1이면 전체 RMS는 약 0.3162 V, 평균은 0.1 V, AC 성분 RMS는 0.3 V다. 전체 RMS의 제곱 0.1 V²는 DC 제곱 0.01 V²와 AC 평균제곱 0.09 V²의 합으로 확인할 수 있다.

아래 AC·DC 커플링 글은 이 차이를 일정한 DC와 영평균 AC가 더해진 경우로 설명한다. DC 1 V 위에 AC 0.1 V RMS가 있다면 전체 RMS는 √(1² + 0.1²) ≈ 1.004988 V다. 이상적으로 DC만 없애고 AC를 그대로 남기면 0.1 V RMS가 된다.

실제 하드웨어 AC 결합에는 저주파를 줄이는 고역통과 특성이 있다. 차단 주파수 부근에서는 관심 신호의 진폭과 위상도 변하므로, 소프트웨어에서 기록의 평균을 빼는 처리와 항상 같은 결과라고 볼 수는 없다.

글의 1차 모델은 차단 주파수에서 진폭비가 약 0.7071, 위상이 +45°가 된다. 차단 주파수보다 열 배 높은 곳에서도 진폭비는 약 0.9950이고 위상은 약 +5.71°이므로, 진폭 손실이 작아 보여도 위상 조건까지 만족하는지 따로 판단한다.

센서를 연결하거나 바이어스가 바뀐 직후에는 결합 회로의 과도 응답도 남을 수 있다. 아래 글에서 정착 시간을 포함해 어느 구간을 RMS 계산에 넣을지 살펴보자. 취득 후 평균을 빼더라도 이미 입력부에서 포화한 파형은 돌아오지 않는다는 점도 함께 확인할 수 있다.

AC·DC 커플링의 차이: 오프셋·저주파·IEPE·RMS 측정에 미치는 영향 | OPEN TECH BENCH

ADC 파형 작업대에서 같은 신호의 지표를 함께 비교한다

아래 ADC 파형 작업대는 연속 기준 파형과 ADC 샘플을 같은 시간축에 놓고 Peak·RMS·Crest factor 등을 비교한다. 실제 장비에서 취득한 결과가 아니라 입력 조건에 따라 계산한 합성 예제다. 설정을 바꾸며 지표 사이의 관계를 확인하는 데 사용할 수 있다.

Peak amplitude와 DC offset을 바꾸면 순간 최대 입력과 평균 성분이 어떻게 달라지는지 볼 수 있다. ADC의 양극성 입력 범위와 bit 수, 잡음 조건도 조절하므로 원래 파형의 모양과 숫자로 저장하는 경로의 영향을 나누어 살펴보기 좋다.

처음에는 기준 조건을 Run으로 저장하고 offset만 바꿔보자. 같은 AC 성분 위에 DC를 더하면 전체 RMS와 최소·최대값이 달라질 수 있다. 여러 설정을 동시에 바꾸기 전에 어떤 지표가 먼저 변했는지 비교하면 원인을 따라가기 쉬워진다.

입력 범위를 좁힐 때는 peak와 DC를 합친 전체 입력을 확인한다. 범위를 넘으면 일부 샘플이 최대·최소 코드에 붙으면서 파형이 잘리고, RMS와 파고율도 그 잘린 파형에서 다시 계산된다. 그 결과를 원래 입력의 상태 변화로 해석하기 전에 포화 샘플 수를 함께 본다.

앞서 Clipping 프리셋을 확인했을 때는 ±2 V 범위에서 512개 중 264개 샘플이 포화했다고 표시됐다. 이 숫자는 해당 합성 조건에서 얻은 결과이므로 임의의 실제 장비나 다른 파형에도 같은 비율로 적용할 값은 아니다. 설정을 바꾸었다면 현재 범위와 포화 개수를 다시 읽는다.

Run 저장은 최대 여섯 개 조건의 결과를 비교할 수 있고 CSV·JSON으로 내보내는 기능도 있다. 비교한 지표가 전체 RMS인지, 어떤 구간과 단위인지도 함께 확인해 보자. 아래 작업대에서 기준·offset 변화·Clipping 상태를 순서대로 저장하며 시간 파형과 지표가 어떻게 함께 바뀌는지 살펴보면 좋다.

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